Boolean aritmetiği lojik kapıların matematiksel hesaplamalarıdır. Boolean matematiğinde 1 ya da 0 olmak üzere iki veya daha fazla giriş matematiksel toplama ya da çarpma işlemine tabii tutulur ve dönen sonuç ya 1 olur ya da 0 olur. Boolean aritmetiğinde toplama işlemi VEYA kapısını, çarpma işlemi ise VE kapısını temsil eder.
Yukarıdaki VE kapısının A ve B girişlerine verilen iki bitlik bilgi Y çıkışındaki hali AxB işleminin sonucuyla bulunur. Buna göre Y = AxB’dir.
Şimdi A ve B girişine iki bitlik bilginin tüm kombinasyonlarını uygularsak;
Tablonun birinci satırında her iki girişe de sıfır değeri uygulanmış.
Bu durumda; Y = 0x0 işleminin sonucu olarak Y = 0’dır. Şimdi sırayla diğer üç satırın işlemlerini yapalım.
Y = 0x1 = 0
Y = 1×0 = 0
Y = 1×1 = 1 olur.
Yukarıda toplama işleminin VEYA kapısını temsil ettiğini söylemiştik. Şimdi birde boolean aritmetiğinde toplama işlemine gözatalım.
Görselde gördüğümüz VEYA kapısının A ve B olmak üzere iki girişi ve Y olmak üzere bir adet çıkışı bulunmaktadır. Şimdi Y çıkışı değeini bulmak için A ve B girişini aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi iki bitlik bilginin tüm kombinasyonlarına göre işleme tabii tutalım.
Tablomuzun ilk satırındaki değerleri ele alırsak, A = 0, B = 0 olduğunu görürüz. Y çıkışının bilgisini hesaplamak için A+B formülünü kullanacağız.
Y = A+B = 0+0 ise Y = 0 olur. Kalan 3 satırı hesaplamamız gerekirse;
2. Satırda Y = 0+1 = 1
3. Satırda Y = 1+0 = 1
4. Satırda Y = 1+1 = 1 olduğunu görürüz.
Dördüncü satırda iki adet 1 bilgisini topladığımızda neden sonucun 2 deği de 1 olduğunu merak edenler var ise, iki tabanlı sayı sistemin yalnızca 1 ve 0 rakamlarından oluşur. Eğer işlem sonunda değer elde edilebiliyorsa sonuç 1, değer elde edilemiyorsa sonuç 0’dır.
Boolean aritmetiğinde değil işlemi çıkan sonucu terslemek için kullanılır. Şimdi değil işleminin boolean aritmetiğindeki hesaplamasını yapalım;
Yukarıda gördüğümüz DEĞİL kapımızın A girişine 1 uyguladığımızda Y çıkışında 0, A girişine 0 uyguladığımızda Y çıkışında 1 olduğunu görüyoruz.
Değil işlemi boolean aritmetiğinde tek tırnak (‘) şeklinde gösterilir.
Örnek olarak VE-DEĞİL kapımızı gösterecek olursak;
Y = (AxB)’ şeklinde yazabiliriz. Bu formül ile yaptığımız her işlemde elde ettiğimiz değerin tersini alırız.
Doğruluk tablomuzdaki her satırı işleme tabii tutarsak;
Y = (0x0)’ = 1
Y = (0x1)’ = 1
Y = (1×0)’ = 1
Y = (1×1)’ = 0 olur.
Gördüğümüz gibi VE-DEĞİL kapısı ile işlem yaparken her işlemdeki sonucun DEĞİL’ini (tersini) alıp sonuç olarak yazdık.
